Résolution numérique des systèmes algébriques par des techniques exactes : Application à la mécanique

céleste

Daniel Lazard^{∗} LIP6, Université P. et M. Curie, 75252 Paris Cedex 05, France

Résumé

Les techniques de résolution des systèmes d’équations algébriques par des méthodes exactes ont fait récemment de tels progrès, qu’elles permettent d’obtenir des résultats qui sont totalement inaccessibles aux méthodes purement numériques, à cause, notamment, des inévitables erreurs d’arrondi.

Nous présentons une application à la mécanique céleste qui montre les possibilités maintenant ouvertes par les techniques du calcul formel.

En mécanique céleste, une configuration centrale de n corps est une configuration où les accélérations sont dirigés vers le centre de masse et proportionnelles à la distance à ce centre. Il en résulte que la configuration se déforme en restant homothétique à elle même. Il est conjecturé que si les masses des corps sont fixées, le nombre de configurations centrales est toujours fini.

Nous considérons le cas de 4 corps dans un plan, ayant un axe de symétrie (les masses symétriques étant égales). Non seulement nous avons pu démontrer la conjecture dans ce cas, mais mais nous avons déterminé complètement le nombre de configurations centrales en fonction des valeurs des masses.

Dans le cas difficile (deux masses sur l’axe de symétrie), le système se modélise par le système

\begin{matrix}(b − d)^{2} − 2(b + d) + 1 + f = 0, \\ m(B − 1) − (D − F)(d − b + 1) = 0, \\ n(D − 1) − (B − F)(b − d + 1) = 0, \\ b^{3}B^{2} = 1,  d^{3}D^{2} = 1,  f^{3}F^{2} = 1. \end{matrix}  (1)

dans lequel les deux masses symétriques sont normalisées à 1, les deux autres masses sont dénommées m et n. Les 3 inconnues b, c, f sont des carrés de distances et les 3 autres B, D, F sont les cubes des inverses des mêmes distances. Toutes les inconnues sont donc positives.

Pour déterminer le nombre de solutions en fonction des masses m et n, il faut – Déterminer les courbes critiques où le nombre de solutions change quand

∗E-mail : Daniel.Lazard@lip6.fr

m et n varient.

– Tracer ces courbes et certifier ce tracé, afin d’obtenir une décomposition cellullaire telle que le nombre de solutions soit constant sur chaque cellule.

– Résoudre le système pour, au moins, une paire de masses dans chaque cellule afin de déterminer ce nombre de solutions.

La difficulté intrinsèque de l’ensemble de ces calculs, qui ont nécessités environ 15 jours de CPU, résulte clairement de la taille de leur résultats :

La courbe critique a pour équation implicite un polynôme en m et n de degré total 424, de degré 244 en chacune des variables, ayant plus de 50 000 mônomes et des coefficients entiers de plus de 200 chiffres.

La précision requise pour avoir un tracé correct ressort, par exemple, du fait que deux asymptotes parallèles sont distantes d’environ 10^{−6}.

Le polynôme, qui a pour racines les abscisses des points de rebroussement, a une degré supérieur à 700.

Enfin les systèmes à résoudre dans chaque cellule ont 102 solutions complexes, de 6 à 20 solutions réelles, pour seulement 1, 3 ou 5 solutions, pour lesquelles toutes les inconnues sont positives.

Il faut souligner que le gigantisme de ces calculs n’est pas un artefact de la méthode utilisée : La courbe ci-dessus délimite les domaines où le nombre de solutions admissibles change ; elle a donc une signification physique.